NÚMEROS DE DUDENEY EN LA BASE OEIS

La Teoría de Números apasiona a muchos matemáticos. Pero además son un tipo de acertijos y retos que atraen a muchas personas interesadas en los problemas lúdicos de las matemáticas.

La ventaja de la Teoría de Números es que se pueden encontrar curiosidades muy atractivas y enunciados de problemas muy fáciles de entender por cualquier persona con un mínimo bagaje matemático. El inconveniente es que, a pesar de esa evidente sencillez en los enunciados, la demostración de algunos de los resultados es complicada, cuando no imposible hasta el momento. Basta pensar en la Conjetura de Goldbach. El comprobar que los números primos mayores de 2 se pueden descomponer como suma de dos primos está al alcance de cualquiera que sepa sumar y conozca los primos. El demostrar que se verifica siempre ya es otro tema, que trae de cabeza a muchos matemáticos desde hace siglos.

El jugar con los números ha estado siempre en la mente de muchas personas, sean matemáticos o no. Y varios de ellos han encontrado curiosidades que nos han dejado para la historia. Una de esas personas es el inglés Henry Dudeney (1857 - 1930), uno de los mayores creadores de juegos y rompecabezas del siglo pasado.

Un gran aficionado desde la infancia al ajedrez, con solo nueve años ya inventaba puzzles y problemas de ajedrez que se publicaban en la prensa local. Aunque su trabajo fue en la administración pública desde los 13 años, de forma autodidacta estudió matemáticas y se convirtió en un impresionante creador de juegos y acertijos, usuales en los periódicos y revistas ingleses.

Uno de sus descubrimientos son los llamados Números de Dudeney. Estos son números que son cubo de otro valor, de forma que la suma de sus cifras da ese mismo valor. En la siguiente tabla vemos los números de Dudeney que existen.

Con ayuda de una hoja de cálculo es fácil ver que no hay más posibilidades. Por ejemplo, a partir del 47 al cubo, los números tienen 6 cifras, hasta llegar al 100. Si todas las cifras fuesen 9, el máximo valor sería 999999, cuya suma máxima es 54, pero del 47 al 54 la primera cifra de su cubo es 1, por lo que el máximo obtenible sería 199999, es decir 46, por lo que no hay ninguno más con esa condición. Lo mismo se podría razonar con los restantes. Mientras mayor sea el número más difícil es que el número obtenido al sumar las cifras de su cubo nos dé el número, por muy grandes que sean las cifras.

Como curiosidad, indicar que estos números están en la base OEIS con el código A061209. Para los que no sepan que es el OEIS, como me pasaba a mí hasta hace un rato, indicar que es una base de datos de secuencias numéricas de números enteros. Esta base fue creada por el matemático británico-estadounidense Neil Sloane en 1964. Aunque no he encontrado el dato exacto, pero se supone que debe rondar actualmente las 200.000 series numéricas.

Existe una página en la que se puede incluir una secuencia de números o una palabra, por ejemplo Fibonacci, y se busca la secuencia, si existe, y se da toda la información sobre ella. La página de búsqueda está aquí.

El enlace a la enciclopedia de secuencias enteras se puede encontrar en esta dirección.

Como curiosidad, dentro de la curiosidad, Tony Noe realizó en 2009 un vídeo de 8,30 minutos de duración donde muestra imágenes de las 1000 primeras series numéricas. Además, la música de fondo está construida con la secuencia de números de Recaman.


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MIDIENDO EL MUNDO

Estas últimas semanas he estado viendo un par de películas, que no pude ver cuando se estrenaron en el cine, que tienen que ver con personajes matemáticos. Una es la vida de Ramanujan, de la que hablaré otro día, y la otra se llama Midiendo el mundo. Es una película del director alemán Detlev Buck, de quien creo que se han estrenado pocas películas en nuestro país. La película es de 2012 y trata sobre las vidas de dos científicos contemporáneos. Por un lado el Príncipe de las Matemáticas, Carl Friedrich Gauss y por el otro el explorador y naturalista Alexander Humbolt, considerado como el padre de la geografía moderna universal.


Los dos personajes históricos, según la película, se encontraron siendo niños y volvieron a encontrarse cuando ya eran científicos desconocidos. La película va saltando de una vida a otra, por un lado la labor de investigación de Gauss y por otra la de viajero por múltiples lugares de la Tierra de Humbolt.

Puede que sea mi deformación narrativa propia de la comunicación visual de las películas y series americanas, pero la verdad es que la película me ha resultado un poco dura de seguir. El director está constantemente saltando de una historia a la otra, muchas veces cortando narraciones de forma brusca. Si es curiosa la ambientación que da la impresión de mucho más realista para la época que otras películas históricas.

En la parte de Gauss, que era la que más me interesaba, no se ven apenas sus resultados matemáticos, algo que hubiera dado para una sola película. Incluso uno de sus grandes resultados, la construcción del heptadecágono con regla y compás, sólo se cita de pasada como achacándole que no estaba muy centrado para intentar presentar ese logro a los nobles de la época.

Si hay una reproducción de su anécdota escolar cuando sumó en un instante los 100 primero números naturales. Les dejo con esa escena y les animo a ver la película, que como curiosidad está bien, aunque no la vi adecuada para utilizarla en el aula, que es lo que iba buscando.


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ENSEÑAR MATEMÁTICAS CON GEOGEBRA: RETOS, ROLES, RESULTADOS.

Desde hace varios años, a finales de cada año suele celebrarse un encuentro, entre profesores de todas las sociedades y los Institutos de GeoGebra de España, en Castro Urdiales donde se profundiza sobre aspectos relacionados con GeoGebra.

En las primeras reuniones se profundizó en aspectos concretos del programa, pero desde el año pasado se ha intentado profundizar más en sus aplicaciones didácticas y en como se obtienen resultados en el aula con su utilización. Un comentario sobre el seminario del año pasado lo dejé en esta entrada.

Hasta el momento, he tenido la suerte de asistir a todas las reuniones, en unas ocasiones invitado por la organización y en otros casos como uno de los representantes de la S.A.E.M. Thales, como en esta ocasión.

La reunión, con el título de "Enseñar matemáticas con GeoGebra: retos, roles, resultados", se desarrollará el fin de semana del 18 al 20 de noviembre, como en los casos anteriores en el CIEM de Castro Urdiales. Está organizado por el propio CIEM (Centro Internacional de Encuentros Matemáticos) y la FESPM (Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas).


El enfoque de estos seminarios es la presentación de una serie de trabajos y de experiencias propias de los asistentes, seguidos por una serie de debates de los que se espera sacar unas conclusiones, como en el desarrollado el año pasado.

El viernes 18 por la tarde comenzará el seminario con una conferencia de José Antonio Mora, uno de los popes de nuestro país en geometría dinámica y continuará con dos intervenciones, una de Tomás Recio, alma motora de todos estos encuentros, y de Pilar García Freire, del INTEF, donde nos presentarán noticias y novedades sobre el mundo de GeoGebra. Habrá posteriormente un debate, coordinado por el otro alma motora del encuentro, Agustín Carrillo.

Los demás días habrá varias sesiones, en las que una serie de profesores presentaremos experiencias de introducción de GeoGebra en el aula de matemáticas.

Una vez que se desarrolle el encuentro y sepamos dónde se van a colocar los materiales presentados en la reunión, daremos cumplida cuenta de todo.
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EL MISTERIO DE LAS MATEMÁTICAS

Tengo que reconocer que veo muy poca televisión. El poco tiempo que tengo lo dedico más a películas o series que tenga grabadas. Por eso, no es raro que se me pasen algunos documentales interesantes que a veces se encuentran en la programación. Memos mal que existe internet.

Como suele ser corriente, buscando otros elementos, he encontrado en YouTube un vídeo emitido por la 2 de RTVE que trata sobre las matemáticas. Aunque es un poco largo para que nuestros alumnos de secundaria mantengan la atención, puede ser interesante para alguna sesión especial o troceándolo para trabajarlo en clase.

En el vídeo se tratan multitud de temas, por eso digo que se podría trocear. Se comienza con la aplicación de las matemáticas en la naturaleza y, como no podía ser menos, hablando de la sucesión de Fibonacci. A continuación se habla del número pi y donde podemos encontrarlo, haciendo el experimento de la aguja de Buffon.

Pero se habla también de las matemáticas que existen en los videojuegos, o de la relación con la música. Se habla también de muchos matemáticos, por ejemplo, Platón y sus poliedros regulares, relacionándolos con los elementos básicos. También se habla de Pitágoras o de Arquímedes.

Se reproducen los experimentos de Galileo sobre la gravedad. También se habla de Newton o de Einstein. Se habla de las matemáticas relacionadas con las ondas electromagnéticas.

Se entrevistan a varios matemáticos y físicos actuales, por ejemplo Penrose, que hablan sobre la importancia de las matemáticas.

En resumen, un vídeo muy interesante y muy bien realizado.

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LA COMBINATORIA FILOSÓFICA DE LEIBNIZ

Desde hace muchos años se viene celebrando el Carnaval de Matemáticas, en la que los interesados en participar escriben una entrada sobre matemáticas y enlazan a la página de la edición y al blog o página web de la persona que se encarga de organizar cada sesión. Yo no acostumbro a participar, porque suelo estar más a mi bola, pero en esta ocasión quien lo organiza es mi querido amigo albaceteño Juan Martínez-Tebar, quien me ha pedido que participe y por eso estoy escribiendo estas líneas.

La edición 7.7 que organiza Juan está dedicada a Ramon Llul, en concreto a su máquina de pensar. Si hablamos de la estructura mecánica para lograr conceptos, que creó Llul, no podemos dejar de citar a uno de sus seguidores como fue Gottfried Wilhelm Leibniz.

En el año 1666, Leibniz publicó su primer libro donde aparecían las matemáticas y que no tuviese nada que ver con lograr distintos títulos universitarios. Nos referimos a Dissertatio de arte combinatoria. En él recogía parte de su filosofía relacionándola con las matemáticas, en concreto con la combinatoria, combinando conceptos, igual que hacía de forma mecánica Ramon Llul.


Leibniz intenta en su obra lograr, mediante la combinatoria, un alfabeto del pensamiento humano, lo que mas tarde llamaría Scientia generalis. Él consideraba que igual que de las letras del alfabeto, mediante combinaciones, se podían conseguir cualquier palabra y, por extensión, cualquier frase, de la misma forma a partir de una serie de conceptos simples y fundamentales se podían llegar a conseguir todas las verdades y conceptos generales.

El principio elemental con el que construyó su metafísica fue que todas las proposiciones consisten, básicamente, en una combinación de sujeto y predicado. De esa forma, consideró que la principal aplicación del arte combinatorio sería construir una lógica de la invención o del descubrimiento, donde se intentaría encontrar todas las proposiciones verdaderas en las que aparece o bien un sujeto o bien un predicado dados.

Aunque en el momento en que salió el libro los conocimientos matemáticos de Leibniz eran bastante pobres, ya había estudiado algunos libros sobre combinatoria. Él llamaba variationes ordinis a las permutaciones y complexiones a las combinaciones en general. En concreto a las combinaciones de objetos tomados de dos en dos los llamaba combinations. En su obra realizó una tabla con las combinaciones de orden dos que era equivalente al Triángulo de Pascal.


Veamos una aplicación concreta que realizó en su obra. Partía de las cuatro cualidades primarias: frio, caliente, húmedo y seco. A continuación las combinaba dos a dos obteniendo 6 posibles combinaciones y eliminaba aquellas que estaban formadas por opuestos, lo que en el gráfico llama imposibles, es decir, frio-caliente y seco-húmedo. De esa manera le quedaban cuatro resultados posibles que correspondían a los elementos básicos: fuego, agua, tierra y aire.

El libro De arte combinatoria fue el primero en que se utilizó la palabra combinatoria en el sentido actual de la palabra. En él, aparte de su intento de alfabeto universal, aplicaba la combinatoria a multitud de ejemplos, del derecho (por ejemplo, en el parentesco para problemas de herencia), la música, la poesía o incluso para demostrar la existencia de Dios o las formas de sentar a unos invitados en una mesa donde hay un lugar destacado. Se puede consultar más detenidamente estas aplicaciones en el artículo de Mary Sol De Mora.

Esta entrada participa en la Edición 7.7 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Los Matemáticos no son gente seria.




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JORNADA SOBRE LEIBNIZ

Hace unas semanas comenté en estas páginas, que el Instituto de Matemáticas de la Universidad de Sevilla (IMUS) había decidido dedicar una serie de actividades anuales a un matemático. En este año se ha elegido la figura de Gottfried Wilhelm Leibniz, de quien se cumplen 300 años de su muerte.

Imagen tomada de wikimedia
La primera actividad consistió en una conferencia general sobre la vida y obra de Leibniz, quien abarcó aspectos tan diversos como filosofía, matemáticas, geología, ingeniería, diseño, poesía, historiografía, etc. Esa primera conferencia la impartí yo hace unas tres semanas.

Pero el plato fuerte se desarrollará el próximo miércoles 9 de noviembre. Ese día, en jornada de mañana y tarde, se impartirán un total de cuatro conferencias sobre aspectos puntuales de la obra y vida de Leibniz. Los títulos y conferenciantes son los siguientes:

Mañana:

11:30-12:30- Marisol de Mora Charles (U. País Vasco): Las matemáticas de Leibniz.   


Tarde: 

16:00-17:00: Ana M. Rioja Nieto (U. Complutense): Leibniz y Weinberg: qué significa explicar el mundo.

17:00-18:00: Juan Arana (U. Sevilla): El pensamiento científico de Leibniz.

18:30-19:30: Antonio Durán Guardeño (U. Sevilla): A cabezazos: una visión cruda de las polémicas entre Leibniz y Newton.

Todas las conferencias se desarrollarán en la Facultad de Matemáticas, en la Avenida de Reina Mercedes, de Sevilla. La conferencia de la mañana será en el Salón de Actos y las de la tarde en el Seminario II.
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ARQUÍMEDES DE JOSÉ DE RIBERA

Mal que les pese a muchos anuméricos, las matemáticas no solo son el lenguaje con el que está escrita la naturaleza, sino que forma parte de la cultura de nuestra sociedad. Por eso, todos aquellos que desprecian a las matemáticas son en buena parte incultos, por muy académico de la RAE que se sea.

Como las matemáticas son inherentes a nuestra cultura, no es de extrañar que uno se encuentre con referencias a ella en los sitios más inesperados. Eso es lo que me ha ocurrido esta mañana.

Aprovechando estos días de puente en que se tiene más tiempo para el ocio, he estado esta mañana visitando varias exposiciones que hay en Sevilla. En concreto he estado en una exposición temporal de la que se puede disfrutar hasta el 29 de enero próximo en el Museo de Bellas Artes.

La exposición lleva por título "Los objetos hablan" y está formado por obras del Museo Nacional del Prado, en Madrid. En ella se pretende resaltar los objetos más o menos cotidianos que se pueden apreciar en los cuadros y que nos informan sobre la época y características de la cultura, los oficios, la nobleza, la religiosidad, etc... que aparecen como complemento en los cuadros. Es una exposición que merece la pena visitar y lo pude comprobar porque estaba verdaderamente atestada de público.

Pero lo que me llamó la atención fue encontrarme con un cuadro del pintor valenciano José de Ribera, conocido por el apodo del Spagnoletto, ya que desarrolló casi toda su obra en Italia. El cuadro en concreto estaba dedicado a Arquímedes. Yo ya conocía un cuadro más famoso dedicado a este sabio y que también se encuentra en el Museo del Prado, y que actualmente se conoce como Demócrito.


Lo que no conocía es que tenía otra versión del científico. Al parecer es un cuadro que estaba en los fondos del museo pero no se había expuesto hasta hace unos años. Como no podía ser menos, el gran Angel Requena ya se había hecho eco del cuadro en su blog de turismo matemático, donde nos informa que el cuadro corresponde a una serie de pinturas sobre filósofos realizada por José de Ribera para el señor de Liechtenstein.

También nos dice que inicialmente se había pensado que el retratado era Aristóteles, pero que en las escrituras que aparecen pintadas en el cuadro hay claras referencias a los Elementos de Euclides.



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