LOS PRIMOS DE PIERPONT

Yo soy de la opinión de que en casi cualquier situación puede aprenderse algo, aunque sea sobre un tema que uno domine en mayor o menor medida. Recientemente me pasó eso en unas jornadas de matemáticas en León, donde asistí a un taller de papiroflexia. Aunque lo que se trató de doblado de papel era para mí conocido desde hace décadas, allí descubrí unos números de los que creo que no había oído hablar anteriormente.

Me refiero a los números primos de Pierpont. Llevan ese nombre en homenaje a su descubridor el matemático estadounidense James P. Pierpont (1866 - 1938). Aunque inicialmente se graduó en su país, después se marchó a Europa donde realizó la tesis. Estuvo en Berlin y en Viena donde consiguió su doctorado. Su línea de investigación trataba sobre la teoría de ecuaciones de Galois. También trabajó, entre otros temas, en análisis real y complejo o geometría no euclidiana.

En el año 1895 presentó los primos de Pierpont relacionándolos con la construcción de polígonos regulares, como veremos más adelante.

Los primos de Pierpont son de la forma  siguiente, en donde n y r son números naturales:

Los números de primos de Pierpont menores que 500 son los que incluimos a continuación.

Se han encontrado un total de 36 números menores que el millón, según la wikipedia.

Estos números están muy relacionados con los primos de Fermat, que al ser más conocidos, muchos sabrán que son de la forma:

siendo p un número natural.

Si en los primos de Pierpont hacemos r = 0, entonces los números primos serán aquellos en que n es una potencia de 2, es decir, los números de Fermat.

No es posible que n sea 0 sin serlo también r, pues en caso contrario tendríamos una expresión de la que sería par y mayor que 2. Si tanto n como r son mayores que 0, entonces el primo de Pierpont es de la forma 6·k+1.

El motivo de que estos números salieran en un taller de papiroflexia fue por su posibilidad para construir polígonos con ese número de lado.

Según un teorema demostrado por Gauss, se pueden construir con regla y compás aquellos polígonos regulares cuyo número de lados descompuesto en factores primos es de la forma:

donde los p son primos de Fermat.

Si nos pasamos al origami, existen algunos polígonos regulares que no pueden construirse con regla y compás, pero que si se pueden hacer mediante papiroflexia. En concreto, es posible construir doblando papel aquellos polígonos regulares cuyo número de lados puede descomponerse en la forma:

donde, en este caso, los p son primos de Pierpont.

La información y explicación más detallada sobre estas construcciones puede tomarse del artículo sobre números construibles de Francisco Nieto Rueda en esta dirección.