NÚMEROS DE CARMICHAEL

En Teoría de Números se pueden encontrar muchos tipos de números que resultan muy curiosos y, aunque nos pueda parecer increíble, bastante interesantes.

Todo el que haya leído un poco sobre aplicación de números en la actualidad sabe bien la importancia para la criptografía que tienen los números primos. Sobretodo porque la criptografía es la base de que en un mundo digital puedan ser seguras las transmisiones de datos a través de la red.

Hoy vamos a hablar de los Números de Carmichael, bautizados así en homenaje al estadounidense Robert Daniel Carmichael (1879-1967), matemático, doctor por la Universidad de Princeton y especialista en teoría de grupos, ecuaciones diferenciales y otras ramas matemáticas, pero conocido principalmente por sus trabajos en relación con los números primos. Él descubrió un número seudoprimo, el 561, que dio pie a la búsqueda de números con las mismas características y que, por ello, llevan su nombre.

Imagen tomada de mathshistory

Un número de Carmichael es un entero impar que es el resultado de multiplicar al menos tres números primos distintos y que tienen la siguiente característica: al restar 1 a cada uno de los divisores del número, se obtiene un divisor del número de Carmichael menos 1.

El más pequeño es 561 = 3 · 11 · 17, pues 3-1 = 2, 11 - 1 = 10 y 17 - 1 = 16 son todos divisores de 561 - 1 = 560.

En criptografía suelen utilizarse números primos muy largos y también números de Carmichael que se llaman claves, cuantos más largos mejor.

Aunque no se ha demostrado que existan infinitos números de Carmichael, igual que existen infinitos primos, se supone que es así. Los números de este tipo menores que 10.000 son los siguientes.

Cuando nos encontramos con un descubrimiento de este tipo de números siempre podemos preguntarnos cómo se ha llegado a un resultado de este tipo. Un poco es preguntarse qué se estaba buscando y como para llegar a un resultado inesperado y que evidentemente no es lo que se buscaba.

En este caso se pretendía trabajar con el llamado test de primalidad que pretende descubrir si un número es compuesto suponiendo, si no es posible comprobarlo, que el número será primo.

Este test de primalidad se basa en el Pequeño Teorema de Fermat que básicamente dice que si p es un número primo, para todo número a que sea primo con p, aunque él no lo sea, se cumplirá la congruencia:

que quiere decir que si dividimos a elevado a p-1 entre p se obtendrá 1 de resto. Dicho de otra forma, si p es primo y a no lo es, pero es coprimo con p, entonces p divide a la expresión a^(p-1) -1.

Lo que ya nos recuerda algo más a los números de Carmichael.