SUCESIÓN DE SYLVESTER

En una de las conferencias a las que asistí durante el pasado congreso regional de Thales en Almería, habló el ponente de una de las muchas sucesiones que no conozco, en concreto de la Sucesión de Sylvester.

Esta sucesión fue definida por el matemático inglés James Joseph Sylvester (1814 - 1897). Sylvester trabajó en varios campos de la matemática como combinatoria, teoría de números, particiones, pero principalmente en Álgebra de Matrices y Determinantes. a él se deben, entre otros, los términos como matriz, invariante o discriminante.

Imagen tomada de wikipedia

La sucesión de Sylvester se forma de la siguiente forma. Los dos primeros términos son el 2 y el 3 y a partir de ellos, cada término es el producto de todos los anteriores más uno.

Los primeros términos de la sucesión son: 2, 3, 7, 43, 1087, 3263443, 10650056950807, .....

Como se puede apreciar la sucesión aumenta de una forma exponencial y rápidamente se llega a números que las calculadoras expresan en notación científicas.

Podemos observar que es una sucesión recurrente donde el término general sería:

Por su formación, la sucesión recuerda a la forma en que Euclides demostró que la cantidad de números primos es infinita. Euclides utilizó la demostración de reducción al absurdo, indicando que si hubiese una cantidad de números primos, bastaba multiplicar todos los números primos entre sí y sumarle 1 para hallar un nuevo número que no era divisible por ninguno de los primos anteriores, luego era primo.

Sin embargo, los números de la sucesión de Sylvester no son todos primos. En concreto, el quinto término es 1807 = 13 · 139. Aunque el siguiente vuelve a ser primo, los que le siguen son compuestos, aunque dada la inmensidad de los términos a partir de los primeros, no se conocen las descomposiciones factoriales completas de todos los números.


La sucesión de Sylvester se relaciona también con las fracciones egipcias, que eran fracciones todas de numerador la unidad. Si se considera la sucesión formada por los inversos de los números de Sylvester, se obtiene una serie que converge a 1 de la forma más rápida conocida.