En otras ocasiones hemos puesto ejemplos de la relación entre poesía y matemáticas. Lo curioso es que se presente la solución de un teorema mediante un poema. Y eso es lo que nos encontramos hoy.
Hay un problema que, al parecer, se remonta a la antigua Grecia, pero del que no queda constancia de su solución aunque se puede presumir que podría encontrarse en el libro Sobre tangencias de Apolonio de Perga, del que, por desgracia, no se conocen restos. El problema plantea lo siguiente: tenemos tres círculos tangentes dos a dos y queremos encontrar un círculo que sea tangente a los tres dados. En la imagen aparecen en rojo las dos soluciones posibles.
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| Imagen tomada de wikipedia |
Este teorema es conocido como el Teorema de los círculos de Descartes, por ser este matemático quien primero lo descubrió en 1643.
Sin embargo, en 1936 el teorema fue redescubierto por el químico inglés Frederick Soddy (1877 - 1956), quien recibió el Premio Nobel de Química en 1921 por sus estudios sobre radioactividad. También generalizó el resultado plano de Descartes al espacio, trabajando con esferas. Lo llamativo es que presentó su descubrimiento mediante un poema publicado en un artículo en la revista Nature en 1936. El poema es el siguiente:
Pueden besarse los labios, dos a dos,
sin mucho calcular, sin trigonometría;
mas ¡ay! no sucede igual en geometría,
pues si cuatro círculos tangentes quieren ser
y besar cada uno a los otros tres,
para lograrlo habrán de estar los cuatro
o tres dentro de uno, o alguno
por otros tres a coro rodeado.
De estar uno entre tres, el caso es evidente
pues son todos besados desde afuera.
Y el caso tres en uno no es quimera,
al ser este uno por tres veces besado internamente.
Cuatro círculos llegaron a besarse,
cuanto menores tanto más curvados,
y es su curvatura tan sólo la inversa
de la distancia desde el centro.
Aunque este enigma a Euclides asombrara,
ninguna regla empírica es necesaria:
al ser las rectas de nula curvatura
y ser las curvas cóncavas tomadas negativas,
la suma de cuadrados de las cuatro curvaturas
es igual a un medio del cuadrado de su suma.
Espiar de las esferas
los enredos amorosos
pudiérale al inquisidor
requerir cálculos tediosos,
pues siendo las esferas más corridas,
a más de un par de pares
una quinta entra en la movida.
Empero, siendo signos y ceros como antes
para besar cada una a las otras cuatro,
el cuadrado de la suma de las cinco curvaturas
ha de ser triple de la suma de sus cuadrados.
El año siguiente, en 1937, el abogado Thorold Gosset, matemático aficionado, completó el poema anterior añadiendo los siguientes versos que generalizan el teorema a espacios n-dimensionales, y publicado también en la revista Nature.
No debemos empero confinar nuestros cuidados
a los simples círculos, esferas y planos,
sino elevarnos a n-espacios e hipercurvaturas
donde también las múltiples tangencias son seguras.
En n-espacios, los pares de tangentes
son hiperesferas, y es verdad,
–mas no evidente–,
cuando n + 2 de tales se osculean
cada una con n + 1 compañeras
que el cuadrado de la suma de todas las curvaturas
es n veces la suma de sus cuadrados.
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